ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В РАБОТАХ А.В. ЛЕТНИКОВА
Потапов А.А.
Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова, Российская академия наук, http://www.cplire.ru
11/7, ул. Моховая, 125009 Москва, Российская Федерация
+7 495 629 3406, potapov@cplire.ru; www.potapov-fractal.com

Поступила в редакцию 23.04.2012

Цель работы – спасти от забвения результаты по созданию строгой и законченной теории дробного исчисления, полученные во второй половине 19 века выдающимся русским математиком и патриотом России Алексеем Васильевичем Летниковым, талантливым организатором математического образования в России и создателем математической школы Московского высшего технического училища (ныне государственный технический университет им. Н.Э. Баумана). Его высочайшая математическая эрудиция (на базе Московского университета и парижских Ecole Polytechnique, College de France и Сорбонны), безукоризненная честность и порядочность вызывали уважение и любовь молодых ученых, многие из которых сыграли выдающуюся роль в истории отечественной науки. Представлен основной свод работ Летникова: магистерская диссертация, известная дискуссия по этой диссертации на страницах Математического сборника Московского математического общества (ныне журнала РАН), а также докторская диссертация, завершившая обоснование системы дробного исчисления – наследие, вызволенное из-под вод Леты длительным и кропотливым трудом автора данных очерков. Представлен также современный взгляд начала 21 века на это исчисление, являющееся единственным и необходимым математическим аппаратом стремительно развивающейся в последние десятилетия фрактальной физики. Приведены также биографические материалы, которые свидетельствуют о личном благородстве А.В. Летникова и его благотворном влиянии на математическую мысль и научное сообщество России.

Ключевые слова: интегродифференцирование дробного порядка, дробные операторы, дробное исчисление, фрактал, фрактальная физика

УДК 537.86:519.22

Библиография – 67 ссылок.

РЭНСИТ, 2012, 4(1):3-102

ЛИТЕРАТУРА

Oldham KB, Spanier J. The Fractional Calculus. N.Y., Academic Press, 1974, 234 р.
Самко СГ, Килбас АА, Маричев ОИ. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск. Наука и техника, 1987, 688 с.; Kilbas AA, Srivastava HM, Trujillo JJ. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam, Elsevier, 2006, 523 p.
Нигматуллин РР, Потапов АА. Дробные операторы и их приложения (итоги Межд. симп. “Дробная производная и ее приложения”). Нелинейный мир, 2009, 7(2):154-155; Baleany D, Kiryakova V. 3rd IFAC Workshop on Fractional Differentiation and Its Applications (FDA’08), 5-7 Nov. 2008. Fractional Calculus & Applied Analysis, 2009, 12(1):113-114.
McBride AC. Fractional Calculus and Integral Transforms of Generalized Functions. San Francisco, Pitman Press, 1979, 179 p.
Nishimoto K. Fractional Calculus. V. 1-5: Koriyama (Japan), Descartes Press Co., 1984, v.1, 195 p.; 1987, v. 2, 189 p.; 1989, v. 3, 202 p.; 1991v. 4, 158 p.; 1996, v. 5, 193 p.
Miller KS, Ross B. Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. N. Y., Wiley, 1993, 384 p.
Kiryakova V. Generalized Fractional Calculus and Applications. N.Y., Wiley & Sons, 1994, 360 p.
Чукбар КВ. Стохастический перенос и дробные производные. ЖЭТФ, 1995, 108(5):1875-1884.
Rubin B. Fractional Integrals and Potentials. Harlow, Longman, 1996, 409 p.
Podlubny I. Fractional Differential Equations. N.Y., Academic Press, 1999, 368 p.
Hilfer R (ed.) Applications of Fraction Calculus in Physics. Singapore, World Scient. Publ. Co., 2000, 472 p.
Данилов ЮА. Лекции по нелинейной динамике. М., Постмаркет, 2001, 184 с.
Потапов АА. Фракталы в радиофизике и радиолокации. М., Логос, 2002, 664 с.
Климонтович ЮЛ. Введение в физику открытых систем. М., Янус-К, 2002, 284 с
Потапов АА. Фракталы в радиофизике и радиолокации: топология выборки. Изд. 2, перераб. и доп. М., Университетская книга, 2005, 848 с.
Потапов АА. Фракталы, хаос, рекурсия. Высшее образование сегодня. 2003, 4:18-26.
Нахушев АМ. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик, Изд. КБНЦ РАН, 2000, 299 с.; Нахушев АМ. Дробное исчисление и его применение. М., Физматлит, 2003, 272 c.
Кобелев ЯЛ, Кобелев ЛЯ, Климонтович ЮЛ. Аномальная диффузия с памятью, зависящей от времени и координат. ДАН, 2003, 390(5):605-609.
Псху АВ. Уравнения в частных производных дробного порядка. М., Наука, 2005, 199 с.
Нахушева В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М., Наука, 2006, 173 с.
Потапов АА. Фрактальные модели и методы на основе скейлинга в фундаментальных и прикладных проблемах современной физики. Сб. тр. “Необратимые процессы в природе и технике”. Под ред. В.С. Горелика и А.Н. Морозова. М., МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008, 2:5-107.
Учайкин ВВ. Метод дробных производных. Ульяновск, Артишок, 2008, 512 с.
Бабенко ЮИ. Метод дробного дифференцирования в прикладных задачах теории тепломассообмена. СПб, Изд. НПО “Профессионал”, 2009, 584 с.
Anastassiou GA. Fractional Differentiation Inequalities. NY, Springer, 2009, 686 p.
Потапов АА. О фрактальных радиосистемах, дробных операторах, скейлинге, и не только… . В кн.: Фракталы и дробные операторы. С предисл. акад. Ю.В. Гуляева и чл.-корр. РАН С.А. Никитова. Казань, изд. ФЭН АН РТ, 2010, с. 417-472.
Potapov AA. The Textures, Fractal, Scaling Effects and Fractional Operators as a Basis of New Methods of Information Processing and Fractal Radio Systems De-signing. Proc. SPIE, 2009, 7374:73740E-1-73740E-14 (http://spie.org/x648.html?product_id=829032).
Mainardi F. Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Intro-duction to Mathematical Models. London, Imperial College Press, 2010, 368 p.
Летников АВ. Теория дифференцирования с произвольным указателем. Матем. сб., 1868, 3:1-68.
Летников АВ. Об историческом развитии теории дифференцирования с произвольным указателем. Матем. сб., 1868, 3(2):85-112.
Летников АВ. К разъяснению главных положений теории дифференцирования с произвольным указателем. Матем. сб., 1873, 6(4):413-445.
Летников АВ. Исследования, относящиеся к теории интегралов вида . Матем. сб., 1874, 7(1):5-205.
Letnikov AV. Recherches relatives a la theorie des integrals de la forme . Bull. Sci. Math. Astron. J., 1874, 7:233-238.
Летников АВ. Новые изыскания о тригонометрических функциях. Матем. сб., 1882, 10:227-312.
Летников АВ. Об определенных интегралах, содержащих функции, удовлетворяющие гипергеометрическому уравнению. Матем. сб., 1883, 11(3):327-414.
Летников АВ. О гиперсферических функциях и о разложении произвольной функции в ряды, расположенные по функциям гиперсферическим. Матем. сб., 1885, 12(2):205-282.
Летников АВ. Об интегрировании уравнения . Матем. сб., 1888, 14(2): 205-215.
Летников АВ. О гипергеометрических функциях высших порядков. Матем. сб., 1888, 14(2):216-222.
Летников АВ. О приведении многократных интегралов. Матем. сб., 1888, 14(3):303-328.
Сонин НЯ. Сообщение о дифференцировании с произвольным указателем. Тр. 2 съезда русских естествоиспытателей. 1870, 2:18-21.
Сонин НЯ. О дифференцировании с произвольным указателем. Матем. сб., 1872, 6(1):1-38.
Sonine N. Recherches sur les Fonctions Cylindriques et le Development des Fonctions Continues en Series. Math.Ann., 1880, 16:1-80.
Сонин НЯ. Обобщение одной формулы Абеля. Зап. матем. общ. Новорос. общества естествоиспытателей. 1884, 5:143-150.
Sonine N. Sur la Generalization d une Formule d Abel. Acta Math., 1884, 4:171-176.
Сонин НЯ. Исследования о цилиндрических функциях и специальных полиномах. М., ГТТИ, 1954, 243 с.
Некрасов ПА. Общее дифференцирование. Матем. сб., 1888, 14(1):45-168.
Некрасов П.А. Приложение общего дифференцирования к интегрированию уравнений вида . Матем. сб., 1888, 14(1):344-393.
Некрасов ПА. Приложение общего дифференцирования к задаче о приведении многократных интегралов (в связи с интегрированием уравнения Лапласа). Матем. сб., 1888, 14(1):410-426.
Nekrassov PA. Ueber Lineare Differentialgleichungen, Welche Mittelst Bestimmter Integrale Integrist Werden. Math. Ann., 1891, 38:509-560.
Ross B. A Brief History and Exposition of the Fundamental Theory of the Fractional Calculus. Lecture Notes in Mathematics. V. 457. N.Y., Springer Verlag, 1975, p. 1-36.
Потапов АА. Краткое историческое эссе о зарождении и становлении теории дробного интегродифференцирования. Нелинейный мир, 2003, 1(1-2):69-81.
Machado JT, Kiryakova V, Mainardi F. Recent history of fractional calculus. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2011, 16(3):1140-1153. (doi:10.1016/j.cnsns.2010.05.027).
Caputo M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent. II. Geophys. J. R. Astr. Soc. 1967, 13:529-539.
Caputo M. Elasticita e Dissipacione. Bologna, Zanichelli, 1969.
Podlubny I. Geometric and Physical Interpretation of Fractional Integration and Fractional Differentiation. Fractional Calculus and Applied Analysis. 2002, 5(4):367-386.
Ворошилов АА, Килбас АА. Задача Коши для диффузионно-волнового уравнения с частными производными Капуто. Дифференциальные уравнения, 2006, 42(5):595-609.
Бабенко ЮИ. Тепломассообмен. Метод расчета тепловых и диффузионных потоков. Л., Химия, 1986, 144 с.
Нахушев АМ. Уравнения математической биологии. М., Высшая школа, 1995, 301 с.
Kolwankar KM, Gangal AD. Fractional Differentiability of Nowhere Differentiable Functions and Dimensions. Chaos, 1996, 6(1):505-513.
Kolwankar KM, Gangal AD. Holder Exponents of Irregular Signals and Local Fractional Derivatives. Pramana-J. Physics (Indian Academy of Sciences), 1997, 48(1&2):49-68.
Kolwankar KM, Gangal AD. Local Fractional Fokker-Planck Equation. Phys. Rev. Lett., 1998, 80(2):214-217.
Потапов АА. Дробные операторы и скейлинг во фрактальной электродинамике, и широкополосные фрактальные антенны в исследовании высокочастотных резонансов и плазмонов. Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2011, 14(3):54-77.
Лазоренко ОВ, Потапов АА, Черногор ЛФ. Фрактальные сверхширокополосные сигналы. В кн.: Информационная безопасность: методы шифрования. С предисл. акад. Н.А. Кузнецова. Под ред. Е.М. Сухарева. Кн. 7. М., Радиотехника, 2011, с. 151-187.
Рехвиашвили СШ, Потапов АА. Мемристор и целочисленный квантовый эффект Холла. Радиотехника и электроника, 2012, 57(2):207-210.
Панасенко СВ, Потапов АА, Черногор ЛФ. Результаты применения алгоритмов теории оптимального обнаружения и оценивания для анализа солитона огибающей. Радиотехника и электроника, 2012, 57(3):330-338.
Potapov AA. Application of the Fractal Theory and Scaling Effects during Processing of Low-Contrast Images and Super Weak Signals in the Presence of Intensive Noise. Abstracts Int. conf. “Zababakhin Scientific Talks”, devoted to E.I. Zababakhin’s 95-th anniversary (16-20 April, 2012, Russia, Snezhinsk, Chelyabinsk region). Snezhinsk, RFNC-VNIITF, 2012: 311-312. (http://www.vniitf.ru/zst).
Потапов АА. Фракталы, скейлинг и дробные операторы в обработке информации (Московская научная школа фрактальных методов в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, 1981-2011 гг.). Сб. тр. “Необратимые процессы в природе и технике”. Под ред. В.С. Горелика и А.Н. Морозова. М., МГТУ им. Н.Э. Баумана и Физический институт имени П.Н. Лебедева РАН, 2012, IV:5-121.
Потапов АА. Фрактальный метод и фрактальная парадигма в современном естествознании. Воронеж, ИПЦ “Научная книга”, 2012, 109 с.

Полнотекстовая электронная версия статьи – на вебсайте http://elibrary.ru